AMC トピック一覧

|x| を含む方程式。符号による場合分け、注意深い両辺の二乗、数直線上の距離としての幾何的解釈で解く。

非負実数の相加平均と相乗平均の不等式：(a1+…+an)/n ≥ (a1·…·an)^(1/n)。等号は全ての ai が等しいときに限る。和や積の評価における基本ツール。

公差 d の数列：a_n = a_1 + (n−1)d。和 S_n = n(a_1+a_n)/2、項の数え上げ、等差中項の挿入問題を含む。

(Σ a_i b_i)^2 ≤ (Σ a_i^2)(Σ b_i^2)。内積や分数和（エンゲル形／ティトゥの補題）、競技数学の多くの不等式の評価に使われる。

a^b と c^d の大小比較や、共通の底・指数を持つ式の簡略化手法：書き換え、対数を取る、指数の正規化など。

z = a+bi の共役は z̄ = a−bi。z·z̄ = |z|^2 が成り立ち、実係数多項式の根は共役対で現れる。

|a+bi| = √(a^2+b^2)。複素平面における原点からの距離を表し、幾何問題、極形式、乗法的性質の解析に使われる。

演算 (f ∘ g)(x) = f(g(x))。定義域の制限、複雑な式の分解、反復合成の挙動を扱う。

新しい二項演算や関数規則（例：a ★ b = a^2 − b）を定義し、その下での値の計算、性質の検証、方程式の解を求める問題。

(cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ)。複素数の累乗・累乗根の計算や倍角公式の導出に用いる。

a^2−b^2 = (a−b)(a+b)、a^n−b^n = (a−b)(a^(n−1)+…+b^(n−1))、奇数 n に対する a^n+b^n などの恒等式。代数・因数分解・整数論で使う。

10進法の各桁の和・積・反転・並び替えに関する問題。整除規則や合同算術と密接に関係する。

ax^2+bx+c において Δ = b^2−4ac は根の種類を決める：Δ>0 で異なる実根2つ、Δ=0 で重根、Δ<0 で共役複素根。完全平方の判定にも使う。

e^(iθ) = cos θ + i sin θ。指数関数と三角関数を統一する公式で、特殊ケース e^(iπ)+1 = 0 は複素解析の象徴。

b > 0 のとき f(x) = a·b^x の形の関数。増加／減衰の挙動、定義域と値域、グラフ、指数式の代数的操作を扱う。

多項式をより低次の積に分解する手法：共通因数のくくり出し、グループ化、三項式分解、置換、恒等式による因数分解など。方程式の解法や式の簡略化の基本ツール。

三角数・四角数・五角数などの多角数、および視覚的に成長する図形パターン問題。閉形式や漸化式を見出す力が求められる。

⌊x⌋ と ⌈x⌉ を含む方程式・恒等式の扱い。階段状の性質、エルミート恒等式、小数部分 {x} を用いた評価を含む。

未知数が関数である方程式（例：f(x+y) = f(x)+f(y)）。特殊値の代入、対称性の利用、関数族の同定で解く。

公比 r の数列：a_n = a_1·r^(n−1)。有限和の公式、|r|<1 のときの無限等比級数、等比中項の挿入を含む。

f(f^(−1)(x)) = x を満たす逆関数 f^(−1)。存在条件（単射性）、代数的な求め方、y = x に関する対称性を含む。

主要な対数公式：log(ab) = log a + log b、log(a^n) = n log a、log_b a = log_c a / log_c b。対数方程式の簡略化と解法に使う。

指数関数の逆関数 f(x) = log_b(x)。定義、定義域、グラフ、指数位置に未知数がある方程式の解法への応用を含む。

濃度の異なる溶液・合金などを混合・希釈する文章題。保存量（溶質の量）を加重平均で追跡して解く。

反復関数や mod 数列がいずれ周期に入ることを見抜き、周期長を求めて遠い項や余りを計算する手法。

多項式の除法で商と余りを求める。組立除法は x − a による除算を簡潔に行う方式で、因数分解や値の計算に便利。

y = ax^2+bx+c の解析：頂点 x = −b/(2a)、対称軸、開く向き、最大値・最小値、切片。最適化問題の中核。

ax^2+bx+c = 0 を因数分解、平方完成、解の公式、ビエタの公式などで解く。判別式で根の性質を分析する。

速さ×時間=量の関係を使う文章題。共同作業問題、等速・変速運動、上流・下流の問題などを含む。

F_n = F_(n−1)+F_(n−2) のような漸化式で定義される数列。特性方程式、閉形式（ビネ）、mod m でのパターン認識を含む。

多項式 p(x) を (x − a) で割った余りは p(a) に等しい。因数定理と合わせて、根の判定や因数分解を素早く行うのに用いる。

3次以上の多項式の根を、有理根定理、組立除法、対称性、置換、ビエタの公式などで探索・分析する。低次への因数分解を伴うことが多い。

xy + ax + by + ab を定数を加減して (x+b)(y+a) と変形する技法。双線形のディオファントス方程式や代数方程式を因数分解可能な形に直す。

(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2、(a-b)^2、(a+b)(a-b) = a^2-b^2、(a+b)^3、a^3±b^3、(a+b+c)^2 などの標準的な展開・因数分解の恒等式。式の簡略化、隠れた構造の発見、代数的操作の高速化に用いられる。

Σ k、Σ k^2、Σ k^3、Σ 1/(k(k+1)) など標準的な有限和の閉形式。数え上げ、代数、整数論で用いる。

変数の入れ替えで不変な連立方程式。基本対称多項式（s = x+y, p = xy）を導入して変数を削減して解く。

複数未知数の一次連立方程式を代入法、消去法、行列法、クラメルの公式などで解く技法。不能・不定の判定も含む。

a_k = b_k − b_(k+1)（積なら b_(k+1)/b_k）と書き換え、中間項を打ち消して簡潔な閉形式にする手法。

多項式の係数と根の基本対称式（根の和・積など）を結びつける関係式。方程式を解かずに根の性質を調べるために広く用いられる。

分数・小数・百分率の相互変換と計算。加減乗除およびパーセント変化の計算を含む。

人数・バスの台数・箱数など整数でなければならない量に対し、非整数の計算結果を ⌈x⌉ や ⌊x⌋ で補正する。

時計の針の位置・角度と関連する回転問題。時針は 0.5°/分、分針は 6°/分で動き、周期的な重なりや直線配置を扱う。

複数の演算や中間量が絡む文章題。言葉を注意深く代数に翻訳し、単位や妥当性を確認する力が求められる。

PEMDAS/BODMAS 規約：括弧、指数、乗除、加減の順で式を評価する。

比 a:b の扱いと a/b = c/d 型の比例式の解法。相似図形、拡大縮小、混合問題で使う。

長さ・面積・体積・質量・時間・通貨などの単位間の変換。換算係数と次元解析を用いる。

互いに排反な2つの選択がそれぞれ m 通り・n 通りあるなら合計は m+n 通り。排他的ケースの統合に使う。

2つの集合の間に1対1対応を構成して、同じ大きさであることを結論する数え上げ技法。組合せ論の強力な証明手段。

(x+y)^n = Σ C(n,k) x^(n−k) y^k。多項式展開の係数を与え、多くの組合せ恒等式の基礎となる。

群作用による軌道数は固定点の平均に等しい：(1/|G|) Σ |Fix(g)|。回転・反射などの対称性を除いた配置の数え上げに用いる。

全ての結果が等確率のとき、「好ましい結果の数 / 全体の結果の数」として定義される確率。初等確率の出発点。

n 個から k 個を順序を無視して選ぶ場合の数：C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)。パスカルの恒等式と対称性 C(n,k) = C(n,n−k) を満たす。

求めたい集合の補集合を数え、全体から引く。直接数えるより補集合を数える方が簡単な場合に有効。

P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。B が起こったもとでの A の確率で、ベイズの定理や事象の従属性の基礎。

E[X] = Σ x·P(X=x)。期待値の線形性 E[X+Y] = E[X]+E[Y] は独立性なしでも成り立ち、分解による強力な計算手段となる。

結果が連続領域に分布するとき、長さ・面積・体積の比として確率を計算する。

事象 A, B が独立であることは P(A∩B) = P(A)P(B) と同値。独立性は同時確率の計算を簡単にする。

円や多角形などの領域内の格子点の個数を、ピックの定理、床関数の和恒等式、直接列挙などで数える。

二項係数の一般化：n!/(n1!·n2!·…·nk!) は n 個を n1,…,nk のグループに分ける方法数、または (x1+…+xk)^n の項の係数を与える。

一つの選択に m 通り、独立な次の選択に n 通りあるとき、全体の選び方は m·n 通り。数え上げの基本原理。

n 個から k 個を順序付きで選ぶ並べ方の数：P(n,k) = n!/(n−k)!。順序が意味を持つ場合に使う。

|A1∪…∪An| = Σ|Ai| − Σ|Ai∩Aj| + … ± |A1∩…∩An|。重なりのある集合の和集合を数える際の過剰計算を補正する。

数え上げ関数を漸化式（例：a_n = a_(n−1)+a_(n−2)）で定義し、解くか評価する。敷き詰め、経路、構造的配列で頻出。

x1+…+xk = n の非負整数解の個数は C(n+k−1, k−1)。同一物体を区別する箱に配分する問題の定型。

確率過程を状態と遷移確率でモデル化し、漸化式や行列のべき乗で吸収・到達確率や長期挙動を計算する。

直角三角形で斜辺への垂線は2つの相似な小三角形を作り、幾何平均の関係 h^2 = pq、a^2 = pc、b^2 = qc を与える。

三角形の角の二等分線は対辺を隣接辺の比 BD/DC = AB/AC に分ける。辺比の計算やマスポイント設定に用いる。

複雑な図形を三角形や長方形に分割したり、パーツを並べ替えて同じ面積のより単純な図形に変えて面積を求める。

三角形・四角形・正多角形の標準的な面積公式と、三辺から三角形の面積を求めるヘロンの公式 √(s(s−a)(s−b)(s−c))。

面積 = (1/2)·周·アポテム、または (1/4)n·s^2·cot(π/n)。正 n 角形を n 個の二等辺三角形に分割して導出する。

三角形の3本の中線の交点で、各中線を 2:1 に分ける。頂点の座標平均であり、物理的な重心でもある。

3辺の垂直二等分線の交点。3頂点から等距離にあり、外接円の中心。

C = 2πr、弧長 = rθ（θ はラジアン）、扇形の面積 = (1/2)r^2θ。AMC 形式の問題用の度数法版もある。

円に内接する四角形。対角の和は 180°、トレミーの定理が使え、角度追跡の近道が多い。

(x1,y1) と (x2,y2) の距離は √((x2−x1)^2 + (y2−y1)^2)。ピタゴラスの定理の直接の帰結。

公式 d = |Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2) は点 (x0,y0) から直線 Ax+By+C = 0 までの垂直距離を与える。座標幾何の必須公式。

中心 (h,k)、半径 r の円の方程式 (x−h)^2 + (y−k)^2 = r^2。一般形 x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0 は平方完成で標準形に戻せる。

標準形 (x−h)^2/a^2 − (y−k)^2/b^2 = 1。焦点までの距離の差が一定という性質で特徴づけられ、漸近線は y−k = ±(b/a)(x−h)。

標準形 (x−h)^2/a^2 + (y−k)^2/b^2 = 1。焦点、離心率、焦点までの距離の和一定という性質で特徴づけられる。

正三角形（辺比 1:1:1、高さ (√3/2)s）と 30-60-90 三角形（1 : √3 : 2）の辺比。幾何・三角関数問題での必須の近道。

三角形の3本の角の二等分線の交点。3辺から等距離にあり、内接円の中心。

円周角は同じ弧を見込む中心角の半分に等しい。タレスの定理や円に内接する四角形の性質の基盤。

正 n 角形の各内角は (n−2)·180°/n、内角の和は (n−2)·180°、外角の和は常に 360°。

c^2 = a^2 + b^2 − 2ab·cos C。ピタゴラスの定理の一般化で、SAS・SSS の三角形問題を解ける。

任意の三角形で a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R。辺と対角の関係を与え、外接円半径も計算できる。

2次元図形の対称軸や3次元立体の対称面を特定する。数え上げ、幾何、不変量の議論に有用。

頂点に質量を割り当て、チェビアンのバランスから線分比を導く手法。Ceva・Menelaos 型の問題で座標法に代わる軽快な武器。

九点円の中心。辺の中点3つ、垂線の足3つ、頂点と垂心を結ぶ線分の中点3つを通る円の中心。

三角形の3本の垂線（高さ）の交点。外心・重心とはオイラー線を通じて密接な関係を持つ。

2組の対辺がそれぞれ平行な四角形。対辺と対角は等しく、対角線は互いを二等分し、面積 = 底辺 × 高さ。

格子多角形に対するピックの定理 A = I + B/2 − 1 と、頂点座標から符号付き面積を求める靴紐公式（Shoelace）。座標ベースの面積計算の2大道具。

円内の点 P を通る2本の弦が円と A,B および C,D で交わるとき PA·PB = PC·PD。符号付きの値を方べきと呼ぶ。

円外の点 P について PT^2 = PA·PB（PT は接線の長さ、PAB は割線）。接線の長さと割線の積を結びつける。

直角三角形で a^2+b^2 = c^2（c は斜辺）。距離公式、ピタゴラス数への拡張があり、幾何学全般で多用される。

座標における反射・回転・平行移動などの等長変換の適用。対称性の議論や変換幾何で用いる。

m = (y2−y1)/(x2−x1)。平行な直線は同じ傾きを持ち、垂直な直線同士は傾きの積が −1（定義されているとき）。

立体図形と平面断面の解釈。展開図や二面角の扱いを含み、立体幾何の問題の要。

sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2)cos((A−B)/2) や sin A·sin B = (1/2)[cos(A−B)−cos(A+B)] のような公式。和を積に、積を和に直して簡略化や積分に使う。

円錐：V = (1/3)πr^2h、側面積 = πrℓ（ℓ は母線）。円錐台：V = (h/3)π(R^2+Rr+r^2)、側面積 = π(R+r)ℓ。

円柱：体積 V = πr^2h、側面積 = 2πrh、閉じた直円柱の全表面積 = 2πrh + 2πr^2。

角柱：体積 = 底面積 × 高さ、側面積 = 底面周 × 高さ、全表面積は2つの合同な底面を加える。

角錐：体積 = (1/3)·底面積·高さ。側面積は三角形の面の合計で、直正角錐では斜高を用いる。

半径 r の球：V = (4/3)πr^3、表面積 = 4πr^2。内接・外接立体の問題でよく使われる。

円の接線は接点で半径と直交する。外部の1点からの接線の長さは等しく、接弦角は対応する円周角に等しい。

少なくとも一組の対辺が平行な四角形。面積 = (1/2)(b1+b2)h で、中点連結は2つの底辺の平均長さ。

三角形の内角の和は 180°。図形中の角を体系的にラベル付けし、伝播させて未知角を導く角度追跡。

形も大きさも等しい三角形。SSS、SAS、ASA、AAS、HL の合同条件を用い、図形間で辺や角の等しさを引き継がせる。

任意の三角形で、2辺の長さの和は残る1辺より大きい。辺長の評価や構成可能性の判定に使われる。

対応する角が等しく、対応する辺が比例する三角形。AA、SAS、SSS の相似条件を用いる。辺比の導出や幾何的事実の証明に広く使う。

主要な恒等式：ピタゴラス (sin^2+cos^2=1)、和・差、倍角・半角、余関数関係など。三角関数操作の基礎。

関数や数列を基本ケースとより以前の値で定義する手法。数え上げ問題の解決や帰納法の基盤となる。

問題を排反かつ網羅的な場合に分けて個別に解く。重複と漏れに注意することが重要。

盤や集合を（多くは2色やパリティで）色分けし、色ごとの不変なカウントを用いて不可能性や構造的制約を示す論法。

完全情報で偶然のない組合せゲームの解析。勝ち局面・負け局面、Sprague-Grundy 値、Nim の XOR 規則を扱う。

過程やパズルの許容操作で保たれる量。不変量を見つけることは不可能性の証明や結果の制限に使われる定番手法。

ルールの集まりから一意な順序や対応を決めるパズル。系統的消去、背理法、場合分けで解く。

算術平均（総和を個数で割ったもの）。データの重心にあたり、外れ値の影響を受けやすい。

並べ替えたデータの中央値（偶数個のときは中央2つの平均）。外れ値に強い代表値。

データ中で最も頻繁に出現する値。名義尺度にも数値データにも適用できる。

n+1 個の物体を n 個の箱に入れると、少なくとも1箱に2個入る。一般化は n 個を k 箱に入れるとき ⌈n/k⌉。

データの最大値と最小値の差。最も単純な散らばりの尺度。

棒グラフ、折れ線、円グラフ、散布図などから量的情報を読み取る。傾向の把握、目盛り読み、カテゴリ比較を含む。

平均からの偏差の2乗の平均：Σ(x_i − x̄)^2 / n（標本分散は /(n−1)）。散らばりを数値化する。

各値に重みを掛けて平均を取る：(Σ w_i x_i)/(Σ w_i)。混合問題、成績計算、期待値などで用いる。

目的の最終状態から出発し、操作を逆にたどって初期状態を復元する。順方向に分岐が多いが目的が定まっている場合に有効。

10進以外の基数での加減乗除。繰り上がり・繰り下がりを基数に合わせて扱う。

曜日計算・閏年の数え方・日付のずれを、主に mod 7 の合同算術と各月の日数を用いて処理する。

法が両々互いに素なら、連立合同式は法の積を法として一意に解ける。剰余から整数を復元する古典的定理。

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13 など各数での整除判定法。桁のパターンや交代和を用い、合同算術から導かれる。

フェルマーの一般化：gcd(a,n) = 1 のとき a^φ(n) ≡ 1 (mod n)（φ はオイラーのトーシェント関数）。RSA や大きな指数の簡約に不可欠。

p が素数で gcd(a,p) = 1 なら a^(p−1) ≡ 1 (mod p)。指数の簡約や素数判定に使われる。

2つの整数を割り切る最大の正整数。ユークリッドの互除法で高速に求まり、gcd(a,b)·lcm(a,b) = |ab| が成り立つ。

a と b の両方で割り切れる最小の正整数。ab / gcd(a,b) に等しく、素因数分解の指数の最大値で計算できる。

n! における素数 p の指数は Σ⌊n/p^k⌋（ルジャンドルの公式）。p 進付値 v_p(n) と組み合わせて、積・階乗・二項係数中の素因数を数える。

ax + by = c の整数解：gcd(a,b) | c のときのみ解を持ち、一般解は拡張ユークリッド互除法で整数 k によってパラメータ化される。

法 n に関する剰余類の演算。和・積の性質、モジュラー逆元、一次合同式の解法などを含む。

整数（および小数）を2進・8進・10進・16進など異なる基数に変換する。繰り返し除算や位取り法を用いる。

n = p1^a1·…·pk^ak のとき、d(n) = (a1+1)(a2+1)…(ak+1)。素因数分解から n の正の約数の個数を与える。

正の整数を素数のべき積として一意に表現できる（算術の基本定理）。ほぼすべての整数論計算の出発点。

σ(n) = Π (p_i^(a_i+1)−1)/(p_i−1)。素因数分解から n の正の約数の総和を与える乗法的公式。