全部 AMC 知識點

含 |x| 的方程；通常用符號討論、謹慎平方或將其解釋為數軸上的距離來求解。

非負實數的算術–幾何平均不等式：(a1+…+an)/n ≥ (a1·…·an)^(1/n)，等號當且僅當所有 ai 相等；是界定和與積的核心工具。

公差為 d 的數列：a_n = a_1 + (n−1)d；求和 S_n = n(a_1+a_n)/2，以及項數與插入等差中項的問題。

(Σ a_i b_i)^2 ≤ (Σ a_i^2)(Σ b_i^2)；用於界定內積、分式求和（Engel 形式／Titu 引理）以及眾多競賽不等式。

比較 a^b 與 c^d 以及化簡具有公共底或指數的表達式的策略：改寫、取對數或指數歸一。

對 z = a+bi，共軛為 z̄ = a−bi；有 z·z̄ = |z|^2，且實係數多項式的根總是成共軛對出現。

複數的模 |a+bi| = √(a^2+b^2)，表示複平面上到原點的距離；用於幾何問題、極座標形式以及乘法性質分析。

運算 (f ∘ g)(x) = f(g(x))；包括定義域限制、複雜表達式的分解以及迭代複合的行為。

題目中引入新的二元運算或函數規則（例如 a ★ b = a^2 − b），要求根據定義求值、驗證性質或解方程。

(cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ)；用於計算複數的冪與開方，以及推導倍角公式。

恆等式 a^2−b^2 = (a−b)(a+b)、a^n−b^n = (a−b)(a^(n−1)+…+b^(n−1))，以及奇數 n 時的 a^n+b^n；在代數、因式分解與數論中廣泛應用。

關於十進制各位數字的求和、乘積、反轉或重新排列的問題；常與整除規則和模運算相聯繫。

對 ax^2+bx+c，判別式 Δ = b^2−4ac 決定根的類型：Δ>0 兩實根，Δ=0 一重根，Δ<0 共軛複根；也用於判斷完全平方。

e^(iθ) = cos θ + i sin θ，將指數函數與三角函數統一；特殊情形 e^(iπ)+1 = 0 是複分析的標誌性恆等式。

形如 f(x) = a·b^x（b > 0）的函數；涵蓋增長/衰減行為、定義域與值域、圖像以及指數表達式的代數運算。

將多項式分解為低次因式乘積的方法，包括提取公因式、分組分解、三項式分解、換元法與恆等式因式分解——解方程與化簡表達式的基礎工具。

三角數、平方數、五邊形數等多邊形數以及按規律增長的視覺圖形問題；需要尋找通項公式或遞推關係。

在方程與恆等式中使用 ⌊x⌋ 和 ⌈x⌉；涉及階梯行為、Hermite 恆等式以及利用小數部分 {x} 的估計方法。

以函數為未知量的方程，如 f(x+y) = f(x)+f(y)；通過代入特殊值、利用對稱性以及識別函數族來求解。

公比為 r 的數列：a_n = a_1·r^(n−1)；包括有限和公式、|r|<1 時的無窮幾何級數以及插入等比中項。

滿足 f(f^(−1)(x)) = x 的反函數 f^(−1)；包括存在條件（單射）、代數求法以及關於 y = x 的對稱性。

主要對數法則：log(ab) = log a + log b、log(a^n) = n log a 及換底公式 log_b a = log_c a / log_c b；用於化簡與解對數方程。

指數函數的反函數 f(x) = log_b(x)：定義、定義域、圖像以及在未知數出現在指數位置時的方程求解。

涉及不同濃度的溶液、合金或數量的混合/稀釋問題；通過加權平均追蹤守恆量（如溶質質量）求解。

識別迭代函數或取模數列最終會進入循環，確定週期長度並用其計算遠端項或餘數。

對多項式進行除法得到商與餘式；綜合除法是按 x − a 進行除法的緊湊方法，便於因式分解與代入求值。

分析 y = ax^2+bx+c：頂點 x = −b/(2a)、對稱軸、開口方向、最大/最小值、截距——是最佳化問題的核心。

用因式分解、配方法、求根公式或韋達定理求解 ax^2+bx+c = 0；利用判別式判定根的類型。

以速率×時間=總量為核心的應用題：包括合作工作問題、勻速/變速運動以及順流/逆流問題。

由遞推關係定義的數列（如 F_n = F_(n−1)+F_(n−2)）；包括特徵方程方法、閉式公式（Binet）以及模 m 的週期識別。

多項式 p(x) 除以 (x − a) 的餘數等於 p(a)；結合因式定理可快速檢驗根並進行因式分解。

利用有理根定理、綜合除法、對稱性、換元以及韋達定理尋找並分析三次及以上多項式的根；通常需先化為低次因式。

通過加減常數把 xy + ax + by + ab 改寫成 (x+b)(y+a)；將雙線性丟番圖或代數方程化為可因式分解的形式。

標準的展開與因式分解恆等式，如 (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2、(a-b)^2、(a+b)(a-b) = a^2-b^2、(a+b)^3、a^3±b^3 及 (a+b+c)^2；用於化簡表達式、揭示隱藏結構、加速代數運算。

Σ k、Σ k^2、Σ k^3、Σ 1/(k(k+1)) 等常見有限和的閉式公式；在計數、代數與數論中都會用到。

對變量互換保持不變的方程組；常通過引入基本對稱多項式（s = x+y，p = xy）來減少變量數求解。

用代入法、消元法、矩陣方法或克拉默法則求解多元線性方程組的方法；包括識別無解與無窮多解的情形。

將 a_k 改寫為 b_k − b_(k+1)（乘積則為 b_(k+1)/b_k），使中間項相消，得到簡潔的閉式和或積。

將多項式的根的初等對稱函數（如根之和、根之積）用其係數表示的關係式；常用於在不解方程的情況下獲取根的資訊。

分數、小數與百分比之間的運算與轉換：加減乘除以及百分比變化的計算。

在人數、車輛、箱數等必須為整數的情境下，即使算出非整數，也要用 ⌈x⌉ 或 ⌊x⌋ 進行取整。

時鐘指針位置與角度以及相關旋轉問題：時針每分鐘走 0.5°、分針走 6°；包含指針重合與直線等週期性問題。

需要多步運算或引入中間量的應用題；要求仔細把文字翻譯為代數，並檢查單位與結果的合理性。

PEMDAS/BODMAS 約定：按括號、指數、乘除、加減的順序對表達式求值。

用比 a:b 表達相對量並求解 a/b = c/d 的方程；應用於縮放、混合與相似圖形問題。

在長度、面積、體積、質量、時間、貨幣等單位間進行換算，藉助換算係數與量綱分析。

若兩種選擇互斥、分別有 m、n 種方式，則總方式數為 m+n；用於合併互不相容的情形。

通過在兩個集合間建立一一對應來證明它們勢相等的計數技巧；組合論中非常有力的證明方法。

(x+y)^n = Σ C(n,k) x^(n−k) y^k；給出多項式展開係數，是眾多組合恆等式的基礎。

群作用下的軌道數等於固定點的平均：(1/|G|) Σ |Fix(g)|；用於計數在對稱性（旋轉、反射）下本質不同的構型。

在所有結果等可能時，概率定義為（有利結果數）/（總結果數）；這是初等概率的起點。

從 n 個中無序取 k 個的組合數：C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)；滿足帕斯卡恆等式以及對稱性 C(n,k) = C(n,n−k)。

計算目標集合的補集並從總數中減去；當直接計數比補集計數更複雜時特別有用。

P(A|B) = P(A∩B)/P(B)；給定 B 發生後 A 的概率；是貝葉斯定理與事件相依性的基礎。

E[X] = Σ x·P(X=x)；期望的線性性 E[X+Y] = E[X]+E[Y] 無需獨立性，是通過分解求期望的強力工具。

當結果呈連續區域時，用長度、面積或體積之比而非計數來計算概率。

事件 A、B 獨立當且僅當 P(A∩B) = P(A)P(B)；獨立性可大幅簡化聯合概率的計算。

利用皮克定理、地板函數求和恆等式或直接枚舉計數圓盤、多邊形等區域內的格點。

二項式係數的推廣：n!/(n1!·n2!·…·nk!) 計數把 n 個物體分成大小 n1,…,nk 的方法數，也是 (x1+…+xk)^n 的展開係數。

若某一選擇有 m 種方式，緊接的獨立選擇有 n 種方式，則整體有 m·n 種；是計數的基礎原理。

從 n 個中有序取 k 個的排列數：P(n,k) = n!/(n−k)!；用於順序有意義的情形。

|A1∪…∪An| = Σ|Ai| − Σ|Ai∩Aj| + … ± |A1∩…∩An|；修正重疊集合聯集中的重複計數。

用遞推關係（如 a_n = a_(n−1)+a_(n−2)）定義計數函數並求解或求值；在拼貼、路徑與結構化排列中非常常見。

非負整數解 x1+…+xk = n 的個數為 C(n+k−1, k−1)；是將相同物體放入不同盒子的經典模型。

將概率過程建模為狀態與轉移概率，然後通過遞推或矩陣冪計算吸收/到達概率及長期行為。

直角三角形中斜邊上的高把大三角形分成兩個相似的小三角形，得到幾何平均關係 h^2 = pq、a^2 = pc、b^2 = qc。

三角形角平分線按兩鄰邊的比分對邊：BD/DC = AB/AC；用於求線段比與構造質點問題。

通過將複雜圖形分割成三角形/矩形，或將各部分重新拼排成更簡單的等面積圖形來計算面積。

三角形、四邊形、正多邊形的標準面積公式，以及已知三邊求三角形面積的海倫公式 √(s(s−a)(s−b)(s−c))。

面積 = (1/2)·周長·邊心距，或 (1/4)n·s^2·cot(π/n)；可通過將正 n 邊形分成 n 個等腰三角形導出。

三角形三條中線的交點，將每條中線按 2:1 分；也是頂點座標的平均值和物理重心。

三角形三條邊的中垂線的交點；到三頂點距離相等，是外接圓的圓心。

周長 C = 2πr、弧長 rθ（θ 為弧度）、扇形面積 (1/2)r^2θ，以及 AMC 題常用的角度制版本。

內接於圓的四邊形；對角互補（和為 180°），可用托勒密定理，且有許多角度追蹤的捷徑。

(x1,y1) 與 (x2,y2) 間的距離為 √((x2−x1)^2 + (y2−y1)^2)；是勾股定理的直接推論。

公式 d = |Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2) 給出點 (x0,y0) 到直線 Ax+By+C = 0 的垂直距離；是解析幾何中的基礎公式。

以 (h,k) 為圓心、r 為半徑的圓方程為 (x−h)^2 + (y−k)^2 = r^2；一般式 x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0 可通過配方化為標準式。

標準方程 (x−h)^2/a^2 − (y−k)^2/b^2 = 1；到兩焦點距離之差為定值是其刻畫性質，漸近線為 y−k = ±(b/a)(x−h)。

標準方程 (x−h)^2/a^2 + (y−k)^2/b^2 = 1；橢圓由焦點、離心率以及到兩焦點距離之和為定值這一性質刻畫。

等邊三角形（邊比 1:1:1，高 (√3/2)s）與 30-60-90 三角形（1 : √3 : 2）的關鍵邊比；在幾何與三角題中常用作快捷方法。

三角形三條角平分線的交點；到三邊距離相等，是內切圓的圓心。

圓周角等於所對同弧的圓心角的一半；由此導出 Thales 定理以及圓內接四邊形的相關關係。

正 n 邊形每個內角為 (n−2)·180°/n，內角和為 (n−2)·180°，外角和恆為 360°。

c^2 = a^2 + b^2 − 2ab·cos C；是勾股定理的推廣，適用於 SAS 與 SSS 情形下的三角形求解。

任意三角形中 a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R；給出邊與對角的關係並可求外接圓半徑。

識別二維圖形的對稱軸與三維立體的對稱面；在計數、幾何以及保持不變量的論證中都有用途。

為頂點分配質量，使得通過質點平衡可直接讀出塞瓦線上的比；是 Ceva/Menelaus 問題中座標法之外的輕量工具。

九點圓的圓心，該圓經過三邊中點、三條高的垂足以及每個頂點到垂心的線段中點共九點。

三角形三條高線的交點；通過歐拉線與外心、重心有緊密聯繫。

兩組對邊分別平行的四邊形；對邊與對角相等，對角線互相平分，面積 = 底 × 高。

對格點多邊形成立的皮克定理 A = I + B/2 − 1；鞋帶公式則利用頂點座標給出多邊形的有向面積。

過圓內點 P 的兩條弦分別與圓相交於 A,B 和 C,D，則 PA·PB = PC·PD；有符號值即為該點的圓冪。

對圓外一點 P，有 PT^2 = PA·PB（PT 為切線長，PAB 為割線）；把切線長度與割線乘積聯繫起來。

直角三角形中 a^2+b^2 = c^2（c 為斜邊）；可推廣到距離公式、勾股數，在幾何中無處不在。

在座標系中應用反射、旋轉、平移等等距變換；用於對稱性論證與變換幾何。

斜率 m = (y2−y1)/(x2−x1)；平行直線斜率相等，相互垂直時斜率之積為 −1（定義時）。

對三維圖形及其平面截面的想像與解讀；包括展開圖、表面展開以及二面角推理——立體幾何問題的關鍵能力。

如 sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2)cos((A−B)/2)、sin A·sin B = (1/2)[cos(A−B)−cos(A+B)] 等公式；用於和積互換、化簡與積分。

圓錐：V = (1/3)πr^2h，側面積 = πrℓ（ℓ 為母線）；圓台：V = (h/3)π(R^2+Rr+r^2)，側面積 = π(R+r)ℓ。

圓柱體積 V = πr^2h，側面積 = 2πrh，閉合直圓柱總表面積 = 2πrh + 2πr^2。

稜柱體積 V = 底面積 × 高，側面積 = 底面周長 × 高，總表面積再加兩底面積。

稜錐體積 = (1/3)·底面積·高；側面積為各三角側面之和，正稜錐中可用斜高計算。

半徑為 r 的球：體積 V = (4/3)πr^3，表面積 = 4πr^2；常與內接/外接立體問題結合出現。

切線在切點處與半徑垂直；外部一點到圓的兩條切線長度相等；弦切角等於所夾弧對應的圓周角。

至少有一組對邊平行的四邊形；面積 = (1/2)(b1+b2)h，中位線長等於兩底之平均。

三角形內角和為 180°；通過對圖中角度進行系統標記與傳遞來推出未知角度（即角度追蹤）。

形狀與大小都相同的三角形；判定方法有 SSS、SAS、ASA、AAS、HL；用於在不同圖形間傳遞邊角相等關係。

任意三角形中，任意兩邊之和大於第三邊；用於界定邊長並判斷三角形是否存在。

兩三角形對應角相等、對應邊成比例；判定方法有 AA、SAS、SSS；廣泛用於推導邊長比和證明幾何結論。

關鍵恆等式：畢達哥拉斯 (sin^2+cos^2=1)、和差、倍角/半角以及餘函數關係——三角變換的基礎。

用基例加前項定義函數或數列；用於解決計數問題並支撐歸納證明。

把問題分為互斥且窮盡的情形分別求解；關鍵在避免重複計數並保證情形完備。

對棋盤或集合進行染色（常用兩色或奇偶性），通過各色數的不變量來證明不可能性或結構約束。

完全資訊、無隨機性的組合博弈分析；覆蓋勝負局面、Sprague-Grundy 值以及 Nim 的 XOR 規則。

在過程或謎題允許的操作下保持不變的量；尋找不變量是證明不可能性或界定結果的標準方法。

由一組規則決定唯一排序或分配的謎題；通過系統排除、反證與分類討論求解。

算術平均（總和除以數據個數）；是數據集的平衡點，對異常值敏感。

有序數據集的中間值（數據為偶數時取中間兩個的平均）；對異常值穩健。

數據集中出現次數最多的值；適用於分類數據和數值數據。

將 n+1 個物體放入 n 個盒子，至少有一個盒子含 2 個；一般化：n 個放入 k 個盒子時必有 ⌈n/k⌉ 個在同一盒中。

數據集中最大值與最小值之差；是衡量離散程度的最簡單量。

從柱狀圖、折線圖、餅圖與散點圖中讀取定量信息；包括識別趨勢、讀懂坐標刻度與比較類別。

數據與均值偏差平方的平均：Σ(x_i − x̄)^2 / n（樣本方差用 /(n−1)）；量化數據的離散程度。

每個值乘以權重再求平均：(Σ w_i x_i)/(Σ w_i)；用於混合問題、成績計算以及期望值。

從目標狀態出發逆推每一步操作，還原出初始狀態；當正向路徑分支多但目標固定時非常有效。

在非十進制下進行加減乘除，按進制調整進位與借位。

利用模運算（多為模 7）結合月份天數計算星期幾、閏年計數以及日期偏移等問題。

若各模兩兩互質，則同時成立的同餘方程組在各模之積下有唯一解；可由餘數重構整數。

2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13 等的整除快速判定法；基於數位模式與交替和，由模運算導出。

費馬小定理的推廣：若 gcd(a,n) = 1，則 a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，φ 為歐拉函數；是 RSA 及大指數化簡的核心。

若 p 為質數且 gcd(a,p) = 1，則 a^(p−1) ≡ 1 (mod p)；用於指數化簡與質性判定。

兩個整數的公共正因數中的最大者；用歐幾里得算法可高效求得，滿足 gcd(a,b)·lcm(a,b) = |ab|。

能被 a 與 b 整除的最小正整數；等於 ab / gcd(a,b)，也可通過質因數分解中取最大指數得到。

n! 中質數 p 的指數等於 Σ⌊n/p^k⌋（勒讓德公式）；結合 p 進賦值 v_p(n)，可用於計數乘積、階乘及二項式係數中 p 的因子個數。

方程 ax + by = c 的整數解：當且僅當 gcd(a,b) | c 時有解；一般解由擴展歐幾里得算法用整參數 k 表示。

模 n 的剩餘類上的算術：加法與乘法性質、模逆元及一次同餘方程求解等。

在二進制、八進制、十進制、十六進制等不同進制之間轉換整數（和小數）；常用連續除法與按位展開法。

若 n = p1^a1·…·pk^ak，則 d(n) = (a1+1)(a2+1)…(ak+1)；由質因數分解直接得到正因數個數。

正整數可唯一表示為質數冪的乘積（算術基本定理）；幾乎是所有數論計算的起點。

σ(n) = Π (p_i^(a_i+1)−1)/(p_i−1)；由質因數分解得到 n 的正因數之和的乘法公式。