全部 AMC 知识点

含 |x| 的方程；通常用符号讨论、谨慎平方或将其解释为数轴上的距离来求解。

非负实数的算术–几何平均不等式：(a1+…+an)/n ≥ (a1·…·an)^(1/n)，等号当且仅当所有 ai 相等；是界定和与积的核心工具。

公差为 d 的数列：a_n = a_1 + (n−1)d；求和 S_n = n(a_1+a_n)/2，以及项数与插入等差中项的问题。

(Σ a_i b_i)^2 ≤ (Σ a_i^2)(Σ b_i^2)；用于界定内积、分式求和（Engel 形式／Titu 引理）以及众多竞赛不等式。

比较 a^b 与 c^d 以及化简具有公共底或指数的表达式的策略：改写、取对数或指数归一。

对 z = a+bi，共轭为 z̄ = a−bi；有 z·z̄ = |z|^2，且实系数多项式的根总是成共轭对出现。

复数的模 |a+bi| = √(a^2+b^2)，表示复平面上到原点的距离；用于几何问题、极坐标形式以及乘法性质分析。

运算 (f ∘ g)(x) = f(g(x))；包括定义域限制、复杂表达式的分解以及迭代复合的行为。

题目中引入新的二元运算或函数规则（例如 a ★ b = a^2 − b），要求根据定义求值、验证性质或解方程。

(cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ)；用于计算复数的幂与开方，以及推导倍角公式。

恒等式 a^2−b^2 = (a−b)(a+b)、a^n−b^n = (a−b)(a^(n−1)+…+b^(n−1))，以及奇数 n 时的 a^n+b^n；在代数、因式分解与数论中广泛应用。

关于十进制各位数字的求和、乘积、反转或重新排列的问题；常与整除规则和模运算相联系。

对 ax^2+bx+c，判别式 Δ = b^2−4ac 决定根的类型：Δ>0 两实根，Δ=0 一重根，Δ<0 共轭复根；也用于判断完全平方。

e^(iθ) = cos θ + i sin θ，将指数函数与三角函数统一；特殊情形 e^(iπ)+1 = 0 是复分析的标志性恒等式。

形如 f(x) = a·b^x（b > 0）的函数；涵盖增长/衰减行为、定义域与值域、图像以及指数表达式的代数运算。

将多项式分解为低次因式的乘积的方法，包括提取公因式、分组分解、三项式分解、换元法与恒等式因式分解——解方程与化简表达式的基础工具。

三角数、平方数、五边形数等多边形数以及按规律增长的视觉图形问题；需要寻找通项公式或递推关系。

在方程与恒等式中使用 ⌊x⌋ 和 ⌈x⌉；涉及阶梯行为、Hermite 恒等式以及利用小数部分 {x} 的估计方法。

以函数为未知量的方程，如 f(x+y) = f(x)+f(y)；通过代入特殊值、利用对称性以及识别函数族来求解。

公比为 r 的数列：a_n = a_1·r^(n−1)；包括有限和公式、|r|<1 时的无穷几何级数以及插入等比中项。

满足 f(f^(−1)(x)) = x 的反函数 f^(−1)；包括存在条件（单射）、代数求法以及关于 y = x 的对称性。

主要对数法则：log(ab) = log a + log b、log(a^n) = n log a 及换底公式 log_b a = log_c a / log_c b；用于化简与解对数方程。

指数函数的反函数 f(x) = log_b(x)：定义、定义域、图像以及在未知数出现在指数位置时的方程求解。

涉及不同浓度的溶液、合金或数量的混合/稀释问题；通过加权平均追踪守恒量（如溶质质量）求解。

识别迭代函数或取模数列最终会进入循环，确定周期长度并用其计算远端项或余数。

对多项式进行除法得到商与余式；综合除法是按 x − a 进行除法的紧凑方法，便于因式分解与代入求值。

分析 y = ax^2+bx+c：顶点 x = −b/(2a)、对称轴、开口方向、最大/最小值、截距——是最优化问题的核心。

用因式分解、配方法、求根公式或韦达定理求解 ax^2+bx+c = 0；利用判别式判定根的类型。

以速率×时间=总量为核心的应用题：包括合作工作问题、匀速/变速运动以及顺流/逆流问题。

由递推关系定义的数列（如 F_n = F_(n−1)+F_(n−2)）；包括特征方程方法、闭式公式（Binet）以及模 m 的周期识别。

多项式 p(x) 除以 (x − a) 的余数等于 p(a)；结合因式定理可快速检验根并进行因式分解。

利用有理根定理、综合除法、对称性、换元以及韦达定理寻找并分析三次及以上多项式的根；通常需先化为低次因式。

通过加减常数把 xy + ax + by + ab 改写成 (x+b)(y+a)；将双线性丢番图或代数方程化为可因式分解的形式。

标准的展开与因式分解恒等式，如 (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2、(a-b)^2、(a+b)(a-b) = a^2-b^2、(a+b)^3、a^3±b^3 以及 (a+b+c)^2；用于化简表达式、揭示隐藏结构、加速代数运算。

Σ k、Σ k^2、Σ k^3、Σ 1/(k(k+1)) 等常见有限和的闭式公式；在计数、代数与数论中都会用到。

对变量互换保持不变的方程组；常通过引入基本对称多项式（s = x+y，p = xy）来减少变量数求解。

用代入法、消元法、矩阵方法或克拉默法则求解多元线性方程组的方法；包括识别无解与无穷多解的情形。

将 a_k 改写为 b_k − b_(k+1)（乘积则为 b_(k+1)/b_k），使中间项相消，得到简洁的闭式和或积。

将多项式的根的初等对称函数（如根之和、根之积）用其系数表示的关系式；常用于在不解方程的情况下获取根的信息。

分数、小数与百分比之间的运算与转换：加减乘除以及百分比变化的计算。

在人数、车辆、箱数等必须为整数的情境下，即使算出非整数，也要用 ⌈x⌉ 或 ⌊x⌋ 进行取整。

时钟指针位置与角度以及相关旋转问题：时针每分钟走 0.5°、分针走 6°；包含指针重合与直线等周期性问题。

需要多步运算或引入中间量的应用题；要求仔细把文字翻译为代数，并检查单位与结果的合理性。

PEMDAS/BODMAS 约定：按括号、指数、乘除、加减的顺序对表达式求值。

用比 a:b 表达相对量并求解 a/b = c/d 的方程；应用于缩放、混合与相似图形问题。

在长度、面积、体积、质量、时间、货币等单位间进行换算，借助换算系数与量纲分析。

若两种选择互斥、分别有 m、n 种方式，则总方式数为 m+n；用于合并互不相容的情形。

通过在两个集合间建立一一对应来证明它们势相等的计数技巧；组合论中非常有力的证明方法。

(x+y)^n = Σ C(n,k) x^(n−k) y^k；给出多项式展开系数，是众多组合恒等式的基础。

群作用下的轨道数等于固定点的平均：(1/|G|) Σ |Fix(g)|；用于计数在对称性（旋转、反射）下本质不同的构型。

在所有结果等可能时，概率定义为（有利结果数）/（总结果数）；这是初等概率的起点。

从 n 个中无序取 k 个的组合数：C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)；满足帕斯卡恒等式以及对称性 C(n,k) = C(n,n−k)。

计算目标集合的补集并从总数中减去；当直接计数比补集计数更复杂时特别有用。

P(A|B) = P(A∩B)/P(B)；给定 B 发生后 A 的概率；是贝叶斯定理与事件相依性的基础。

E[X] = Σ x·P(X=x)；期望的线性性 E[X+Y] = E[X]+E[Y] 无需独立性，是通过分解求期望的强力工具。

当结果呈连续区域时，用长度、面积或体积之比而非计数来计算概率。

事件 A、B 独立当且仅当 P(A∩B) = P(A)P(B)；独立性可大幅简化联合概率的计算。

利用皮克定理、地板函数求和恒等式或直接枚举计数圆盘、多边形等区域内的格点。

二项式系数的推广：n!/(n1!·n2!·…·nk!) 计数把 n 个物体分成大小 n1,…,nk 的方法数，也是 (x1+…+xk)^n 的展开系数。

若某一选择有 m 种方式，紧接的独立选择有 n 种方式，则整体有 m·n 种；是计数的基础原理。

从 n 个中有序取 k 个的排列数：P(n,k) = n!/(n−k)!；用于顺序有意义的情形。

|A1∪…∪An| = Σ|Ai| − Σ|Ai∩Aj| + … ± |A1∩…∩An|；修正重叠集合并集中的重复计数。

用递推关系（如 a_n = a_(n−1)+a_(n−2)）定义计数函数并求解或求值；在拼贴、路径与结构化排列中非常常见。

非负整数解 x1+…+xk = n 的个数为 C(n+k−1, k−1)；是将相同物体放入不同盒子的经典模型。

将概率过程建模为状态与转移概率，然后通过递推或矩阵幂计算吸收/到达概率及长期行为。

直角三角形中斜边上的高把大三角形分成两个相似的小三角形，得到几何平均关系 h^2 = pq、a^2 = pc、b^2 = qc。

三角形角平分线按两邻边的比分对边：BD/DC = AB/AC；用于求线段比与构造质点问题。

通过将复杂图形分割成三角形/矩形，或将各部分重新拼排成更简单的等面积图形来计算面积。

三角形、四边形、正多边形的标准面积公式，以及已知三边求三角形面积的海伦公式 √(s(s−a)(s−b)(s−c))。

面积 = (1/2)·周长·边心距，或 (1/4)n·s^2·cot(π/n)；可通过将正 n 边形分成 n 个等腰三角形导出。

三角形三条中线的交点，将每条中线按 2:1 分；也是顶点坐标的平均值和物理重心。

三角形三条边的中垂线的交点；到三顶点距离相等，是外接圆的圆心。

周长 C = 2πr、弧长 rθ（θ 为弧度）、扇形面积 (1/2)r^2θ，以及 AMC 题常用的角度制版本。

内接于圆的四边形；对角互补（和为 180°），可用托勒密定理，且有许多角度追踪的捷径。

(x1,y1) 与 (x2,y2) 间的距离为 √((x2−x1)^2 + (y2−y1)^2)；是勾股定理的直接推论。

公式 d = |Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2) 给出点 (x0,y0) 到直线 Ax+By+C = 0 的垂直距离；是解析几何中的基础公式。

以 (h,k) 为圆心、r 为半径的圆方程为 (x−h)^2 + (y−k)^2 = r^2；一般式 x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0 可通过配方化为标准式。

标准方程 (x−h)^2/a^2 − (y−k)^2/b^2 = 1；到两焦点距离之差为定值是其刻画性质，渐近线为 y−k = ±(b/a)(x−h)。

标准方程 (x−h)^2/a^2 + (y−k)^2/b^2 = 1；椭圆由焦点、离心率以及到两焦点距离之和为定值这一性质刻画。

等边三角形（边比 1:1:1，高 (√3/2)s）与 30-60-90 三角形（1 : √3 : 2）的关键边比；在几何与三角题中常用作快捷方法。

三角形三条角平分线的交点；到三边距离相等，是内切圆的圆心。

圆周角等于所对同弧的圆心角的一半；由此导出 Thales 定理以及圆内接四边形的相关关系。

正 n 边形每个内角为 (n−2)·180°/n，内角和为 (n−2)·180°，外角和恒为 360°。

c^2 = a^2 + b^2 − 2ab·cos C；是勾股定理的推广，适用于 SAS 与 SSS 情形下的三角形求解。

任意三角形中 a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R；给出边与对角的关系并可求外接圆半径。

识别二维图形的对称轴与三维立体的对称面；在计数、几何以及保持不变量的论证中都有用途。

为顶点分配质量，使得通过质点平衡可直接读出塞瓦线上的比；是 Ceva/Menelaus 问题中坐标法之外的轻量工具。

九点圆的圆心，该圆经过三边中点、三条高的垂足以及每个顶点到垂心的线段中点共九点。

三角形三条高线的交点；通过欧拉线与外心、重心有紧密联系。

两组对边分别平行的四边形；对边与对角相等，对角线互相平分，面积 = 底 × 高。

对格点多边形成立的皮克定理 A = I + B/2 − 1；鞋带公式则利用顶点坐标给出多边形的有向面积。

过圆内点 P 的两条弦分别与圆相交于 A,B 和 C,D，则 PA·PB = PC·PD；有符号值即为该点的圆幂。

对圆外一点 P，有 PT^2 = PA·PB（PT 为切线长，PAB 为割线）；把切线长度与割线乘积联系起来。

直角三角形中 a^2+b^2 = c^2（c 为斜边）；可推广到距离公式、勾股数，在几何中无处不在。

在坐标系中应用反射、旋转、平移等等距变换；用于对称性论证与变换几何。

斜率 m = (y2−y1)/(x2−x1)；平行直线斜率相等，相互垂直时斜率之积为 −1（定义时）。

对三维图形及其平面截面的想象与解读；包括展开图、表面展开以及二面角推理——立体几何问题的关键能力。

如 sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2)cos((A−B)/2)、sin A·sin B = (1/2)[cos(A−B)−cos(A+B)] 等公式；用于和积互换、化简与积分。

圆锥：V = (1/3)πr^2h，侧面积 = πrℓ（ℓ 为母线）；圆台：V = (h/3)π(R^2+Rr+r^2)，侧面积 = π(R+r)ℓ。

圆柱体积 V = πr^2h，侧面积 = 2πrh，闭合直圆柱总表面积 = 2πrh + 2πr^2。

棱柱体积 V = 底面积 × 高，侧面积 = 底面周长 × 高，总表面积再加两底面积。

棱锥体积 = (1/3)·底面积·高；侧面积为各三角侧面之和，正棱锥中可用斜高计算。

半径为 r 的球：体积 V = (4/3)πr^3，表面积 = 4πr^2；常与内接/外接立体问题结合出现。

切线在切点处与半径垂直；外部一点到圆的两条切线长度相等；弦切角等于所夹弧对应的圆周角。

至少有一组对边平行的四边形；面积 = (1/2)(b1+b2)h，中位线长等于两底之平均。

三角形内角和为 180°；通过对图中角度进行系统标记与传递来推出未知角度（即角度追踪）。

形状与大小都相同的三角形；判定方法有 SSS、SAS、ASA、AAS、HL；用于在不同图形间传递边角相等关系。

任意三角形中，任意两边之和大于第三边；用于界定边长并判断三角形是否存在。

两三角形对应角相等、对应边成比例；判定方法有 AA、SAS、SSS；广泛用于推导边长比和证明几何结论。

关键恒等式：毕达哥拉斯 (sin^2+cos^2=1)、和差、倍角/半角以及余函数关系——三角变换的基础。

用基例加前项定义函数或数列；用于解决计数问题并支撑归纳证明。

把问题分为互斥且穷尽的情形分别求解；关键在避免重复计数并保证情形完备。

对棋盘或集合进行染色（常用两色或奇偶性），通过各色数的不变量来证明不可能性或结构约束。

完全信息、无随机性的组合博弈分析；覆盖胜负局面、Sprague-Grundy 值以及 Nim 的 XOR 规则。

在过程或谜题允许的操作下保持不变的量；寻找不变量是证明不可能性或界定结果的标准方法。

由一组规则决定唯一排序或分配的谜题；通过系统排除、反证与分类讨论求解。

算术平均（总和除以数据个数）；是数据集的平衡点，对异常值敏感。

有序数据集的中间值（数据为偶数时取中间两个的平均）；对异常值稳健。

数据集中出现次数最多的值；适用于分类数据和数值数据。

将 n+1 个物体放入 n 个盒子，至少有一个盒子含 2 个；一般化：n 个放入 k 个盒子时必有 ⌈n/k⌉ 个在同一盒中。

数据集中最大值与最小值之差；是衡量离散程度的最简单量。

从柱状图、折线图、饼图与散点图中读取定量信息；包括识别趋势、读懂坐标刻度与比较类别。

数据与均值偏差平方的平均：Σ(x_i − x̄)^2 / n（样本方差用 /(n−1)）；量化数据的离散程度。

每个值乘以权重再求平均：(Σ w_i x_i)/(Σ w_i)；用于混合问题、成绩计算以及期望值。

从目标状态出发逆推每一步操作，还原出初始状态；当正向路径分支多但目标固定时非常有效。

在非十进制下进行加减乘除，按进制调整进位与借位。

利用模运算（多为模 7）结合月份天数计算星期几、闰年计数以及日期偏移等问题。

若各模两两互素，则同时成立的同余方程组在各模之积下有唯一解；可由余数重构整数。

2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13 等的整除快速判定法；基于数位模式与交替和，由模运算导出。

费马小定理的推广：若 gcd(a,n) = 1，则 a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，φ 为欧拉函数；是 RSA 及大指数化简的核心。

若 p 为素数且 gcd(a,p) = 1，则 a^(p−1) ≡ 1 (mod p)；用于指数化简与素性判定。

两个整数的公共正因数中的最大者；用欧几里得算法可高效求得，满足 gcd(a,b)·lcm(a,b) = |ab|。

能被 a 与 b 整除的最小正整数；等于 ab / gcd(a,b)，也可通过质因数分解中取最大指数得到。

n! 中素数 p 的指数等于 Σ⌊n/p^k⌋（勒让德公式）；结合 p 进赋值 v_p(n)，可用于计数乘积、阶乘及二项式系数中 p 的因子个数。

方程 ax + by = c 的整数解：当且仅当 gcd(a,b) | c 时有解；一般解由扩展欧几里得算法用整参数 k 表示。

模 n 的剩余类上的算术：加法与乘法性质、模逆元及一次同余方程求解等。

在二进制、八进制、十进制、十六进制等不同进制之间转换整数（和小数）；常用连续除法与按位展开法。

若 n = p1^a1·…·pk^ak，则 d(n) = (a1+1)(a2+1)…(ak+1)；由质因数分解直接得到正因数个数。

正整数可唯一表示为素数幂的乘积（算术基本定理）；几乎是所有数论计算的起点。

σ(n) = Π (p_i^(a_i+1)−1)/(p_i−1)；由质因数分解得到 n 的正因数之和的乘法公式。