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Équations contenant |x| ; résolues par analyse de cas selon le signe, élévation au carré prudente ou interprétation géométrique comme distance sur la droite numérique.

Inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique de réels positifs : (a1+…+an)/n ≥ (a1·…·an)^(1/n), avec égalité ssi tous les ai sont égaux ; outil central pour borner sommes et produits.

Suites de raison constante d : a_n = a_1 + (n−1)d ; somme S_n = n(a_1+a_n)/2, problèmes de dénombrement de termes et de moyennes intercalées.

(Σ a_i b_i)^2 ≤ (Σ a_i^2)(Σ b_i^2) ; utilisée pour majorer produits scalaires, sommes de fractions (forme d'Engel / lemme de Titu) et de nombreuses inégalités de compétition.

Stratégies pour comparer a^b et c^d et simplifier des expressions à bases ou exposants communs en réécrivant, en prenant le logarithme ou en normalisant les exposants.

Pour z = a+bi, le conjugué z̄ = a−bi ; propriétés : z·z̄ = |z|^2 et stabilité par conjugaison des polynômes à coefficients réels (racines par paires conjuguées).

Module |a+bi| = √(a^2+b^2), distance à l'origine dans le plan complexe ; utilisé en géométrie, forme polaire et propriétés multiplicatives.

Opération (f ∘ g)(x) = f(g(x)) ; inclut les restrictions de domaine, la décomposition d'expressions complexes et le comportement des itérés.

Problèmes introduisant une opération binaire ou une règle de fonction nouvelle (ex. a ★ b = a^2 − b) et exigeant son évaluation, le test de propriétés ou la résolution d'équations.

(cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ) ; utilisé pour calculer puissances et racines de nombres complexes et dériver des identités trigonométriques multiples.

Identités a^2−b^2 = (a−b)(a+b), a^n−b^n = (a−b)(a^(n−1)+…+b^(n−1)) et a^n+b^n pour n impair ; utilisées en algèbre, factorisation et théorie des nombres.

Problèmes portant sur la somme, le produit, l'inversion ou le réarrangement des chiffres en base 10 ; souvent liés aux règles de divisibilité et à l'arithmétique modulaire.

Pour ax^2+bx+c, Δ = b^2−4ac détermine la nature des racines : réelles distinctes (Δ>0), double (Δ=0) ou complexes conjuguées (Δ<0) ; sert aussi à tester les carrés parfaits.

e^(iθ) = cos θ + i sin θ, unifie fonctions exponentielle et trigonométriques ; le cas e^(iπ)+1 = 0 est emblématique de l'analyse complexe et de nombreuses preuves d'identité.

Fonctions f(x) = a·b^x avec b > 0 ; comportement de croissance/décroissance, domaine et image, tracé et manipulation algébrique des expressions exponentielles.

Méthodes de décomposition de polynômes en produits de facteurs de degré inférieur : mise en facteur commun, groupement, trinômes, substitution et identités remarquables — outil fondamental pour résoudre des équations et simplifier.

Nombres triangulaires, carrés, pentagonaux et autres nombres polygonaux, ainsi que problèmes de motifs géométriques croissants ; exige la recherche d'une forme close ou d'une récurrence.

Utilisation de ⌊x⌋ et ⌈x⌉ dans les équations et identités ; comportement en escalier, identité d'Hermite et techniques d'encadrement avec la partie fractionnaire {x}.

Équations dont l'inconnue est une fonction, ex. f(x+y) = f(x)+f(y) ; résolues par substitution de valeurs, exploitation de symétries et identification de la classe de fonctions.

Suites de raison constante r : a_n = a_1·r^(n−1) ; formule de la somme finie, série géométrique infinie pour |r|<1 et insertion de moyennes géométriques.

Fonctions f^(−1) telles que f(f^(−1)(x)) = x ; existence (injectivité), calcul algébrique et symétrie par rapport à y = x.

Identités essentielles : log(ab) = log a + log b, log(a^n) = n log a et log_b a = log_c a / log_c b ; utilisées pour simplifier et résoudre des équations logarithmiques.

Inverses des fonctions exponentielles, f(x) = log_b(x) : définition, domaine, graphe et utilisation pour résoudre des équations où l'inconnue est en exposant.

Problèmes combinant solutions, alliages ou quantités à concentrations différentes ; résolus en suivant les quantités conservées (masse de soluté) via des moyennes pondérées.

Reconnaître qu'une fonction itérée ou une suite modulaire finit par cycler, déterminer la longueur du cycle et l'utiliser pour calculer des termes lointains ou des restes.

Division de polynômes pour obtenir quotient et reste ; la division synthétique est un schéma compact pour diviser par x − a, utile en factorisation et évaluation.

Analyse de y = ax^2+bx+c : sommet à x = −b/(2a), axe de symétrie, sens d'ouverture, valeur maximale/minimale et intersections — central pour les problèmes d'optimisation.

Résolution de ax^2+bx+c = 0 par factorisation, complétion du carré, formule quadratique ou relations de Vieta ; analyse de la nature des racines via le discriminant.

Problèmes liant vitesse × temps = quantité : travaux combinés, mouvement à vitesse constante/variable, problèmes amont/aval.

Suites définies par une récurrence telle que F_n = F_(n−1)+F_(n−2) ; équation caractéristique, formule close (Binet) et reconnaissance de motifs modulo m.

Le reste de la division d'un polynôme p(x) par (x − a) vaut p(a) ; couplé au théorème du facteur pour tester rapidement les racines et factoriser.

Recherche et caractérisation des racines de polynômes de degré ≥ 3 via le théorème des racines rationnelles, la division synthétique, les symétries, les substitutions et Vieta ; nécessite souvent une factorisation préalable.

Réécrire xy + ax + by + ab sous la forme (x+b)(y+a) en ajoutant/soustrayant une constante ; transforme une équation bilinéaire (diophantienne ou algébrique) en forme factorisable.

Identités d'expansion et de factorisation standard telles que (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2, (a-b)^2, (a+b)(a-b) = a^2-b^2, (a+b)^3, a^3±b^3 et (a+b+c)^2 ; utilisées pour simplifier des expressions, révéler des structures cachées et accélérer les manipulations algébriques.

Formes closes pour Σ k, Σ k^2, Σ k^3, Σ 1/(k(k+1)) et sommes similaires ; utilisées en dénombrement, algèbre et théorie des nombres.

Systèmes invariants par échange de variables ; résolus en introduisant les polynômes symétriques élémentaires (s = x+y, p = xy) pour réduire le nombre de variables.

Techniques de résolution de systèmes d'équations linéaires à plusieurs inconnues : substitution, élimination, méthodes matricielles, règle de Cramer ; inclut la détection des systèmes incompatibles et dépendants.

Réécrire a_k = b_k − b_(k+1) (ou b_(k+1)/b_k pour les produits) afin que les termes intermédiaires s'annulent, laissant une forme close concise.

Relations exprimant les fonctions symétriques élémentaires des racines d'un polynôme en fonction de ses coefficients (somme et produit des racines, etc.) ; permet d'obtenir des informations sur les racines sans résoudre l'équation.

Calculs et conversions entre fractions, décimales et pourcentages : addition, soustraction, multiplication, division et calculs de variation en pourcentage.

Utiliser ⌈x⌉ ou ⌊x⌋ lorsque les quantités doivent être entières (bus, boîtes, personnes) même si le calcul donne un nombre non entier.

Position et angles des aiguilles d'horloge et problèmes de rotation associés : aiguille des heures à 0,5°/min, aiguille des minutes à 6°/min, coïncidences et alignements périodiques.

Problèmes nécessitant plusieurs opérations enchaînées ou des quantités intermédiaires ; exige une traduction soigneuse en algèbre et un contrôle des unités et de la cohérence.

Convention PEMDAS/BODMAS régissant l'ordre d'évaluation : parenthèses, exposants, multiplication/division, addition/soustraction.

Expression des quantités relatives a:b et résolution d'équations de la forme a/b = c/d ; utilisée en mise à l'échelle, mélanges et figures semblables.

Conversion entre unités de mesure (longueur, aire, volume, masse, temps, devises) à l'aide de facteurs de conversion et d'analyse dimensionnelle.

Si deux choix sont mutuellement exclusifs avec respectivement m et n options, le total est m+n ; utilisé pour combiner des cas disjoints.

Technique de comptage établissant une correspondance un-à-un entre deux ensembles pour conclure qu'ils ont la même cardinalité ; preuve combinatoire très puissante.

(x+y)^n = Σ C(n,k) x^(n−k) y^k ; fournit les coefficients des expansions polynomiales et fonde de nombreuses identités combinatoires.

Le nombre d'orbites sous une action de groupe vaut la moyenne des fixes : (1/|G|) Σ |Fix(g)| ; sert à compter des configurations à symétries près (rotations, réflexions).

Probabilité définie comme (résultats favorables)/(résultats totaux) lorsque tous les résultats sont équiprobables ; point de départ de la probabilité élémentaire.

Nombre de sous-ensembles non ordonnés de k éléments parmi n : C(n,k) = n!/(k!(n−k)!) ; satisfait l'identité de Pascal et la symétrie C(n,k) = C(n,n−k).

Compter le complémentaire de l'ensemble souhaité et le soustraire du total, utile lorsque le comptage direct est plus complexe que celui du complément.

P(A|B) = P(A∩B)/P(B) ; probabilité de A sachant que B est survenu ; base du théorème de Bayes et de la notion de dépendance.

E[X] = Σ x·P(X=x) ; la linéarité E[X+Y] = E[X]+E[Y] est valable sans hypothèse d'indépendance — outil puissant par décomposition.

Probabilité calculée comme rapport de longueurs, d'aires ou de volumes plutôt que de dénombrement ; utilisée quand les issues forment une région continue.

Deux événements A et B sont indépendants ssi P(A∩B) = P(A)P(B) ; l'indépendance simplifie le calcul des probabilités conjointes.

Dénombrement des points à coordonnées entières dans des régions géométriques (cercles, polygones) à l'aide du théorème de Pick, d'identités de sommes de parties entières ou d'énumération directe.

Généralisation des coefficients binomiaux : n!/(n1!·n2!·…·nk!) compte les répartitions de n objets en groupes de tailles n1,…,nk ou les termes de (x1+…+xk)^n.

Si un premier choix offre m options et un second, indépendant, en offre n, la séquence combinée en a m·n ; fondement du dénombrement.

Nombre d'arrangements ordonnés de k éléments parmi n : P(n,k) = n!/(n−k)! ; utilisé lorsque l'ordre compte.

|A1∪…∪An| = Σ|Ai| − Σ|Ai∩Aj| + … ± |A1∩…∩An| ; corrige le sur-comptage lors de l'union d'ensembles se chevauchant.

Définir une fonction de comptage par une récurrence (ex. a_n = a_(n−1)+a_(n−2)) puis la résoudre ou l'évaluer ; courant pour pavages, chemins et arrangements structurés.

Compte les solutions entières non négatives de x1+…+xk = n : C(n+k−1, k−1) ; modèle de distribution d'objets identiques dans des cases distinctes.

Modéliser un processus stochastique par un graphe d'états et des probabilités de transition, puis utiliser une récurrence ou une puissance de matrice pour calculer absorption/atteinte ou le comportement à long terme.

Dans un triangle rectangle, la hauteur abaissée sur l'hypoténuse crée deux sous-triangles semblables, d'où les relations de moyenne géométrique h^2 = pq, a^2 = pc, b^2 = qc.

La bissectrice d'un angle d'un triangle divise le côté opposé dans le rapport des côtés adjacents : BD/DC = AB/AC ; utile pour les rapports de longueurs et les configurations de points de masse.

Calcul d'aires de formes complexes en les divisant en triangles/rectangles ou en réarrangeant les pièces en une figure plus simple de même aire.

Formules d'aire standard pour triangles, quadrilatères et polygones réguliers, ainsi que la formule de Héron √(s(s−a)(s−b)(s−c)) pour un triangle dont les trois côtés sont connus.

Aire = (1/2)·périmètre·apothème, ou (1/4)n·s^2·cot(π/n) ; se démontre en découpant le n-gone en n triangles isocèles.

Intersection des trois médianes d'un triangle, les divisant dans le rapport 2:1 ; également moyenne des coordonnées des sommets et point d'équilibre.

Intersection des médiatrices des trois côtés ; équidistant des trois sommets et centre du cercle circonscrit.

Formules C = 2πr, longueur d'arc = rθ (θ en radians) et aire d'un secteur = (1/2)r^2θ ; variantes en degrés pour les problèmes de type AMC.

Quadrilatères inscrits dans un cercle ; angles opposés supplémentaires (somme 180°), théorème de Ptolémée et nombreux raccourcis de chasse aux angles.

Distance entre (x1,y1) et (x2,y2) : √((x2−x1)^2 + (y2−y1)^2) ; corollaire direct du théorème de Pythagore.

Formule d = |Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2) donnant la distance perpendiculaire de (x0,y0) à la droite Ax+By+C = 0 ; essentielle en géométrie analytique.

(x−h)^2 + (y−k)^2 = r^2 pour un cercle de centre (h,k) et de rayon r ; la forme générale x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0 se ramène par complétion du carré.

Forme standard (x−h)^2/a^2 − (y−k)^2/b^2 = 1 ; caractérisée par la différence constante des distances aux foyers, avec les asymptotes y−k = ±(b/a)(x−h).

Forme standard (x−h)^2/a^2 + (y−k)^2/b^2 = 1 ; foyers, excentricité et propriété de la somme des distances caractérisent la courbe.

Rapports des côtés du triangle équilatéral (1:1:1, hauteur (√3/2)s) et du triangle 30-60-90 (1 : √3 : 2) ; raccourcis essentiels en géométrie et trigonométrie.

Intersection des trois bissectrices ; équidistant des trois côtés et centre du cercle inscrit.

Un angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre interceptant le même arc ; conséquences : théorème de Thalès et relations sur les quadrilatères cycliques.

Chaque angle intérieur d'un n-gone régulier vaut (n−2)·180°/n ; somme des angles intérieurs (n−2)·180° ; les angles extérieurs somment toujours à 360°.

c^2 = a^2 + b^2 − 2ab·cos C ; généralise le théorème de Pythagore et résout les configurations SAS et SSS.

Dans tout triangle : a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R ; relie les côtés et leurs angles opposés et donne le rayon du cercle circonscrit.

Identification des axes de symétrie en 2D et des plans de symétrie en 3D ; utile en dénombrement, géométrie et arguments invariants.

Attribution de masses aux sommets pour que les céviennes équilibrées révèlent les rapports de segments ; alternative légère aux coordonnées pour Ceva/Ménélaüs.

Centre du cercle des neuf points, qui passe par les trois milieux des côtés, les trois pieds des hauteurs et les trois milieux des segments joignant les sommets à l'orthocentre.

Intersection des trois hauteurs d'un triangle ; entretient des relations riches avec le centre du cercle circonscrit et le centre de gravité via la droite d'Euler.

Quadrilatères aux deux paires de côtés opposés parallèles ; côtés et angles opposés égaux, diagonales qui se coupent en leur milieu, aire = base × hauteur.

Théorème de Pick A = I + B/2 − 1 pour les polygones du réseau ; formule du lacet donnant l'aire signée d'un polygone à partir des coordonnées de ses sommets.

Pour deux cordes passant par un point P intérieur au cercle et le coupant en A,B et C,D : PA·PB = PC·PD ; la valeur signée est la puissance du point.

Pour un point extérieur au cercle, PT^2 = PA·PB où PT est la longueur de la tangente et PAB une sécante ; relie la longueur de la tangente au produit des segments sécants.

Dans un triangle rectangle, a^2+b^2 = c^2 où c est l'hypoténuse ; étendu à la formule de distance, aux triplets pythagoriciens et omniprésent en géométrie.

Application d'isométries — réflexions, rotations, translations — sur les coordonnées ; utilisé dans les arguments de symétrie et la géométrie des transformations.

m = (y2−y1)/(x2−x1) ; les droites parallèles ont la même pente, les perpendiculaires ont des pentes de produit −1 (lorsqu'elles sont définies).

Interprétation des figures 3D et de leurs sections planes ; inclut les patrons, les dépliages et le raisonnement sur les angles dièdres — clé en géométrie solide.

Identités telles que sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2)cos((A−B)/2) et sin A·sin B = (1/2)[cos(A−B)−cos(A+B)] ; simplifient sommes/produits et facilitent les intégrations.

Cône : V = (1/3)πr^2h, aire latérale = πrℓ (ℓ = génératrice). Tronc de cône : V = (h/3)π(R^2+Rr+r^2) ; aire latérale = π(R+r)ℓ.

V = πr^2h ; aire latérale = 2πrh ; aire totale = 2πrh + 2πr^2 pour un cylindre droit fermé.

Pour un prisme, V = aire de la base × hauteur et aire latérale = périmètre × hauteur ; l'aire totale ajoute deux bases congruentes.

V = (1/3)·aire de la base·hauteur ; l'aire latérale somme les faces triangulaires (avec l'apothème latéral pour les pyramides régulières droites).

Sphère de rayon r : V = (4/3)πr^3 et aire = 4πr^2 ; souvent couplée à des problèmes de solides inscrits/circonscrits.

La tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact ; les tangentes externes issues d'un même point ont la même longueur ; l'angle tangente-corde égale l'angle inscrit correspondant.

Quadrilatères avec au moins une paire de côtés parallèles ; aire = (1/2)(b1+b2)h ; la médiane (segment médian) vaut la moyenne des bases.

Les angles intérieurs d'un triangle totalisent 180° ; marquage systématique et propagation des angles dans une figure pour déduire les angles inconnus.

Triangles identiques en forme et en taille ; critères SSS, SAS, ASA, AAS, HL ; sert à transférer des égalités de côtés et d'angles d'une figure à l'autre.

Dans tout triangle, la somme des longueurs de deux côtés est supérieure au troisième ; utilisée pour borner les longueurs et tester la faisabilité.

Deux triangles à angles correspondants égaux et côtés proportionnels ; critères AA, SAS, SSS ; très utilisé pour dériver des rapports de longueurs et démontrer des résultats géométriques.

Identités fondamentales : Pythagore (sin^2+cos^2=1), somme/différence, double/moitié, co-fonctions — base de la manipulation trigonométrique.

Définir une fonction ou une suite à partir de ses valeurs antérieures avec un cas de base ; utilisé pour résoudre des problèmes de comptage et structurer les preuves par récurrence.

Diviser un problème en cas mutuellement exclusifs et exhaustifs, puis résoudre chacun séparément ; il faut veiller à éviter le double-comptage et garantir l'exhaustivité.

Colorier (souvent à deux couleurs ou par parité) un échiquier ou un ensemble, puis utiliser les décomptes de couleurs invariants pour démontrer l'impossibilité ou des contraintes structurelles.

Analyse de jeux combinatoires à information parfaite sans hasard : positions gagnantes/perdantes, valeurs de Sprague-Grundy, règle XOR pour Nim.

Quantités préservées par les opérations autorisées d'un processus ou d'un puzzle ; identifier un invariant est une méthode standard pour prouver l'impossibilité ou borner les résultats.

Énigmes où un ensemble de règles détermine un ordre ou une affectation unique ; résolues par élimination systématique, raisonnement par l'absurde et analyse de cas.

Moyenne arithmétique (somme divisée par le nombre d'éléments) ; point d'équilibre d'un jeu de données, sensible aux valeurs extrêmes.

Valeur médiane d'un jeu de données ordonné (moyenne des deux valeurs centrales si l'effectif est pair) ; robuste aux valeurs extrêmes.

Valeur(s) la/les plus fréquente(s) dans un jeu de données ; applicable aux données catégorielles et numériques.

Si n+1 objets sont placés dans n boîtes, au moins une en contient deux ; généralisation : ⌈n/k⌉ pour n objets dans k boîtes.

Différence entre la valeur maximale et la valeur minimale d'un jeu de données ; mesure simple de la dispersion.

Extraire de l'information quantitative à partir de diagrammes en barres, courbes, camemberts et nuages de points ; identifier des tendances, lire des échelles et comparer des catégories.

Moyenne des carrés des écarts à la moyenne : Σ(x_i − x̄)^2 / n (ou /(n−1) pour la variance d'échantillon) ; quantifie la dispersion.

Moyenne où chaque valeur est multipliée par un poids : (Σ w_i x_i)/(Σ w_i) ; employée en mélanges, calcul de notes et espérance.

Partir de l'état final souhaité et inverser les opérations pour retrouver l'état initial ; efficace lorsque la trajectoire directe se ramifie trop mais que la cible est fixée.

Addition, soustraction, multiplication et division dans des bases non décimales, avec retenue/emprunt adaptés à la base.

Calcul des jours de la semaine, comptage des années bissextiles et décalages récurrents à l'aide de l'arithmétique modulaire (surtout mod 7) et de la gestion des longueurs de mois.

Si les modules sont deux à deux premiers entre eux, un système de congruences simultanées admet une solution unique modulo leur produit ; permet de reconstruire un entier à partir de ses restes.

Tests rapides de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13 reposant sur les chiffres et les sommes alternées ; dérivés de l'arithmétique modulaire.

Généralisation de Fermat : si pgcd(a,n) = 1, alors a^φ(n) ≡ 1 (mod n), où φ est la fonction indicatrice d'Euler ; central pour RSA et la réduction de grands exposants.

Si p est premier et pgcd(a,p) = 1, alors a^(p−1) ≡ 1 (mod p) ; utilisé pour la réduction des exposants et les tests de primalité.

Plus grand entier positif divisant deux entiers ; calculé efficacement par l'algorithme d'Euclide, avec gcd(a,b)·lcm(a,b) = |ab|.

Plus petit entier positif divisible par a et b ; vaut ab / gcd(a,b) et se calcule en prenant le maximum des exposants dans les décompositions premières.

L'exposant du premier p dans n! vaut Σ⌊n/p^k⌋ ; couplé à v_p(n), la valuation p-adique, pour compter les facteurs dans produits, factorielles et coefficients binomiaux.

Solutions entières de ax + by = c : soluble ssi pgcd(a,b) | c ; solution générale paramétrée par un entier k via l'algorithme d'Euclide étendu.

Arithmétique sur les classes de restes modulo n : propriétés de l'addition, de la multiplication, inverses modulaires, résolution de congruences linéaires.

Conversion d'entiers (et de fractions) entre bases (binaire, octale, décimale, hexadécimale, etc.) par divisions successives et méthodes positionnelles.

Si n = p1^a1·…·pk^ak, alors d(n) = (a1+1)(a2+1)…(ak+1) ; compte les diviseurs positifs à partir de la décomposition en facteurs premiers.

Représentation unique d'un entier positif comme produit de puissances de premiers (Théorème fondamental de l'arithmétique) ; point de départ de presque tous les calculs de théorie des nombres.

σ(n) = Π (p_i^(a_i+1)−1)/(p_i−1) ; formule multiplicative donnant la somme des diviseurs positifs de n à partir de sa décomposition en facteurs premiers.