Todos los temas de AMC

Ecuaciones con |x|; se resuelven por análisis de casos según el signo, elevando al cuadrado con cuidado o interpretando geométricamente como distancia en la recta numérica.

Desigualdad entre las medias aritmética y geométrica de reales no negativos: (a1+…+an)/n ≥ (a1·…·an)^(1/n), con igualdad si y solo si todos los ai son iguales; herramienta central para acotar sumas y productos.

Sucesiones con diferencia común d: a_n = a_1 + (n−1)d; suma S_n = n(a_1+a_n)/2, problemas de conteo de términos y medias intercaladas.

(Σ a_i b_i)^2 ≤ (Σ a_i^2)(Σ b_i^2); se usa para acotar productos escalares, sumas de fracciones (forma de Engel / lema de Titu) y muchas desigualdades de competencia.

Estrategias para comparar a^b y c^d y simplificar expresiones con bases o exponentes comunes reescribiendo, tomando logaritmos o normalizando exponentes.

Para z = a+bi, conjugado z̄ = a−bi; propiedades: z·z̄ = |z|^2 y cierre bajo conjugación para polinomios con coeficientes reales (raíces en pares conjugados).

Módulo |a+bi| = √(a^2+b^2), distancia al origen en el plano complejo; se usa en geometría, forma polar y propiedades multiplicativas.

Operación (f ∘ g)(x) = f(g(x)); incluye restricciones de dominio, descomposición de expresiones complejas y comportamiento de composiciones iteradas.

Problemas que introducen una operación binaria o regla de función novedosa (p. ej., a ★ b = a^2 − b) y requieren evaluarla, verificar propiedades o resolver ecuaciones.

(cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ); se usa para calcular potencias y raíces de números complejos y derivar identidades trigonométricas de ángulos múltiples.

Identidades a^2−b^2 = (a−b)(a+b), a^n−b^n = (a−b)(a^(n−1)+…+b^(n−1)) y a^n+b^n con n impar; usadas en álgebra, factorización y teoría de números.

Problemas sobre la suma, producto, inversión o reordenamiento de los dígitos en base 10; a menudo vinculados a reglas de divisibilidad y aritmética modular.

Para ax^2+bx+c, Δ = b^2−4ac determina la naturaleza de las raíces: reales distintas (Δ>0), una doble (Δ=0) o complejas conjugadas (Δ<0); también se usa para detectar cuadrados perfectos.

e^(iθ) = cos θ + i sin θ, unifica la función exponencial y las trigonométricas; el caso particular e^(iπ)+1 = 0 es un ícono del análisis complejo.

Funciones f(x) = a·b^x con b > 0; comportamiento de crecimiento/decaimiento, dominio y rango, gráfica y manipulación algebraica de expresiones exponenciales.

Métodos para descomponer polinomios en productos de factores de menor grado: factor común, agrupación, trinomios, sustitución e identidades — herramienta fundamental para resolver ecuaciones y simplificar.

Números triangulares, cuadrados, pentagonales y otros poligonales, además de problemas con patrones geométricos crecientes; requiere hallar una fórmula cerrada o recurrencia.

Uso de ⌊x⌋ y ⌈x⌉ en ecuaciones e identidades; comportamiento escalonado, identidad de Hermite y técnicas de acotación con la parte fraccionaria {x}.

Ecuaciones cuya incógnita es una función, p. ej., f(x+y) = f(x)+f(y); se resuelven por sustitución de valores, explotación de simetrías e identificación de la clase de función.

Sucesiones con razón común r: a_n = a_1·r^(n−1); fórmula de suma finita, serie geométrica infinita cuando |r|<1 e inserción de medias geométricas.

Funciones f^(−1) que cumplen f(f^(−1)(x)) = x; existencia (inyectividad), derivación algebraica y simetría respecto a y = x.

Identidades esenciales: log(ab) = log a + log b, log(a^n) = n log a y log_b a = log_c a / log_c b; para simplificar y resolver ecuaciones logarítmicas.

Inversas de las funciones exponenciales, f(x) = log_b(x): definición, dominio, gráfica y uso para resolver ecuaciones con la incógnita en el exponente.

Problemas que combinan soluciones, aleaciones o cantidades con concentraciones distintas; se resuelven rastreando cantidades conservadas (masa de soluto) con promedios ponderados.

Reconocer que una función iterada o una sucesión mod eventualmente entra en ciclo, determinar la longitud del ciclo y usarla para calcular términos lejanos o restos.

División de polinomios para obtener cociente y resto; la división sintética es un esquema compacto para dividir entre x − a, útil para factorizar y evaluar polinomios.

Análisis de y = ax^2+bx+c: vértice en x = −b/(2a), eje de simetría, sentido de apertura, máximo/mínimo e intersecciones — clave en problemas de optimización.

Resolución de ax^2+bx+c = 0 por factorización, compleción de cuadrados, fórmula cuadrática o relaciones de Vieta; análisis de la naturaleza de las raíces con el discriminante.

Problemas que relacionan velocidad × tiempo = cantidad: trabajos combinados, movimiento con velocidad constante o variable, y problemas río arriba/abajo.

Sucesiones definidas por recurrencias como F_n = F_(n−1)+F_(n−2); métodos de ecuación característica, fórmulas cerradas (Binet) y reconocimiento de patrones mod m.

El resto de dividir un polinomio p(x) por (x − a) es p(a); combinado con el Teorema del Factor para probar raíces y factorizar rápidamente.

Hallar y caracterizar las raíces de polinomios de grado ≥ 3 mediante el Teorema de la Raíz Racional, división sintética, simetrías, sustituciones y Vieta; suele requerir factorizar en piezas de menor grado.

Reescribir xy + ax + by + ab como (x+b)(y+a) sumando/restando una constante; convierte ecuaciones bilineales (diofánticas o algebraicas) en forma factorizable.

Identidades estándar de expansión y factorización como (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2, (a-b)^2, (a+b)(a-b) = a^2-b^2, (a+b)^3, a^3±b^3 y (a+b+c)^2; se usan para simplificar expresiones, revelar estructuras ocultas y agilizar la manipulación algebraica.

Formas cerradas para Σ k, Σ k^2, Σ k^3, Σ 1/(k(k+1)) y sumas similares; útiles en conteo, álgebra y teoría de números.

Sistemas invariantes bajo intercambio de variables; se resuelven introduciendo polinomios simétricos elementales (s = x+y, p = xy) para reducir variables.

Técnicas para resolver sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas: sustitución, eliminación, métodos matriciales, regla de Cramer; incluye detección de sistemas inconsistentes y dependientes.

Reescribir a_k = b_k − b_(k+1) (o b_(k+1)/b_k para productos) de modo que los términos intermedios se cancelen, dejando una forma cerrada corta.

Relaciones que expresan las funciones simétricas elementales de las raíces de un polinomio en términos de sus coeficientes (suma y producto de raíces, etc.); permite obtener información sobre las raíces sin resolver la ecuación.

Operaciones y conversiones entre fracciones, decimales y porcentajes: suma, resta, multiplicación, división y cálculos de variación porcentual.

Aplicar ⌈x⌉ o ⌊x⌋ cuando las cantidades deben ser enteras (buses, cajas, personas) aunque la aritmética dé un resultado no entero.

Posiciones y ángulos de las manecillas del reloj y problemas de rotación relacionados: la horaria avanza 0.5°/min, la minutera 6°/min, con coincidencias y alineaciones periódicas.

Problemas que requieren varias operaciones encadenadas o cantidades intermedias; exigen traducir cuidadosamente el enunciado a álgebra y verificar unidades y sensatez.

Convención PEMDAS/BODMAS que regula el orden de evaluación: paréntesis, exponentes, multiplicación/división y suma/resta.

Expresión de cantidades relativas a:b y resolución de a/b = c/d; usada en escalado, mezclas y figuras semejantes.

Conversión entre unidades de medida (longitud, área, volumen, masa, tiempo, divisas) mediante factores de conversión y análisis dimensional.

Si dos opciones son mutuamente excluyentes con m y n alternativas respectivamente, el total es m+n; se usa para combinar casos disjuntos.

Técnica de conteo que establece una correspondencia uno a uno entre dos conjuntos para concluir que tienen el mismo tamaño; método de demostración combinatoria muy potente.

(x+y)^n = Σ C(n,k) x^(n−k) y^k; da los coeficientes de las expansiones polinomiales y es la base de muchas identidades combinatorias.

El número de órbitas bajo la acción de un grupo es el promedio de puntos fijos: (1/|G|) Σ |Fix(g)|; cuenta configuraciones salvo simetría (rotaciones, reflexiones).

Probabilidad definida como (resultados favorables)/(resultados totales) cuando todos son equiprobables; punto de partida de la probabilidad elemental.

Número de subconjuntos desordenados de k elementos entre n: C(n,k) = n!/(k!(n−k)!); cumple la identidad de Pascal y la simetría C(n,k) = C(n,n−k).

Contar el complemento del conjunto deseado y restarlo del total; útil cuando el conteo directo es más complicado que el del complemento.

P(A|B) = P(A∩B)/P(B); probabilidad de A dado que B ha ocurrido; base del teorema de Bayes y de la dependencia entre eventos.

E[X] = Σ x·P(X=x); la linealidad E[X+Y] = E[X]+E[Y] vale sin suponer independencia, y es una herramienta poderosa para descomponer esperanzas.

Probabilidad calculada como cociente de longitudes, áreas o volúmenes en lugar de conteos; se usa cuando los resultados forman una región continua.

Dos eventos A y B son independientes si y solo si P(A∩B) = P(A)P(B); la independencia simplifica las probabilidades conjuntas.

Conteo de puntos con coordenadas enteras dentro de regiones geométricas (círculos, polígonos) mediante el teorema de Pick, identidades de sumas con partes enteras o enumeración directa.

Generalización de los coeficientes binomiales: n!/(n1!·n2!·…·nk!) cuenta arreglos de n objetos en grupos de tamaños n1,…,nk o términos de (x1+…+xk)^n.

Si una elección ofrece m opciones y una segunda independiente ofrece n, la secuencia combinada tiene m·n opciones; base del conteo.

Número de arreglos ordenados de k elementos entre n: P(n,k) = n!/(n−k)!; se usa cuando el orden importa.

|A1∪…∪An| = Σ|Ai| − Σ|Ai∩Aj| + … ± |A1∩…∩An|; corrige el doble conteo al unir conjuntos que se solapan.

Definir una función de conteo mediante una recurrencia (p. ej., a_n = a_(n−1)+a_(n−2)) y luego resolverla o evaluarla; común en teselaciones, caminos y arreglos estructurados.

Cuenta las soluciones enteras no negativas de x1+…+xk = n: C(n+k−1, k−1); modela repartir objetos idénticos entre cajas distintas.

Modelar un proceso estocástico con estados y probabilidades de transición, y usar una recurrencia o potencia de matriz para calcular probabilidades de absorción, alcance o comportamiento a largo plazo.

En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa genera dos subtriángulos semejantes, produciendo relaciones de media geométrica h^2 = pq, a^2 = pc, b^2 = qc.

La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en la razón de los lados adyacentes: BD/DC = AB/AC; útil para razones de longitudes y configuraciones de mass points.

Cálculo de áreas de figuras complejas dividiéndolas en triángulos/rectángulos o reordenando piezas para formar una figura más simple con la misma área.

Fórmulas de área estándar para triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares, más la fórmula de Herón √(s(s−a)(s−b)(s−c)) para un triángulo con tres lados dados.

Área = (1/2)·perímetro·apotema, o (1/4)n·s^2·cot(π/n); se deduce dividiendo el n-ágono en n triángulos isósceles.

Intersección de las tres medianas de un triángulo, dividiéndolas en razón 2:1; también es el promedio de las coordenadas de los vértices y el punto de equilibrio.

Intersección de las mediatrices de los tres lados; equidistante de los tres vértices y centro de la circunferencia circunscrita.

Fórmulas C = 2πr, longitud de arco = rθ (θ en radianes) y área de sector = (1/2)r^2θ; variantes en grados para problemas tipo AMC.

Cuadriláteros inscritos en una circunferencia; ángulos opuestos suman 180°, se aplica el teorema de Ptolomeo y abundan atajos de persecución de ángulos.

Distancia entre (x1,y1) y (x2,y2): √((x2−x1)^2 + (y2−y1)^2); corolario directo del teorema de Pitágoras.

Fórmula d = |Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2) que da la distancia perpendicular de (x0,y0) a la recta Ax+By+C = 0; fundamental en geometría analítica.

(x−h)^2 + (y−k)^2 = r^2 para un círculo centrado en (h,k) con radio r; la forma general x^2+y^2+Dx+Ey+F = 0 se reduce completando cuadrados.

Forma estándar (x−h)^2/a^2 − (y−k)^2/b^2 = 1; se caracteriza por la diferencia constante de distancias a los focos, con asíntotas y−k = ±(b/a)(x−h).

Forma estándar (x−h)^2/a^2 + (y−k)^2/b^2 = 1; focos, excentricidad y la propiedad de la suma de distancias caracterizan la curva.

Razones clave del triángulo equilátero (1:1:1, altura (√3/2)s) y del 30-60-90 (1 : √3 : 2); atajos fundamentales en geometría y trigonometría.

Intersección de las tres bisectrices; equidistante de los tres lados y centro del círculo inscrito (incírculo).

Un ángulo inscrito equivale a la mitad del ángulo central que subtiende el mismo arco; consecuencias: teorema de Tales y relaciones en cuadriláteros cíclicos.

Cada ángulo interior de un n-ágono regular es (n−2)·180°/n; la suma de interiores es (n−2)·180°; los exteriores suman siempre 360°.

c^2 = a^2 + b^2 − 2ab·cos C; generaliza el teorema de Pitágoras y resuelve configuraciones SAS y SSS.

En cualquier triángulo: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R; relaciona lados con ángulos opuestos y da el circunradio.

Identificación de ejes de reflexión en 2D y planos de reflexión en 3D; útil en conteo, geometría y argumentos de invarianza.

Asignar masas a los vértices para que las cevianas equilibradas revelen las razones de segmentos; alternativa ligera a coordenadas en configuraciones de Ceva/Menelao.

Centro del círculo de los nueve puntos, que pasa por los tres puntos medios de los lados, los tres pies de las alturas y los tres puntos medios de los segmentos que unen cada vértice con el ortocentro.

Intersección de las tres alturas de un triángulo; tiene relaciones profundas con el circuncentro y el centroide por medio de la recta de Euler.

Cuadriláteros con ambos pares de lados opuestos paralelos; lados y ángulos opuestos iguales, las diagonales se bisecan mutuamente, área = base × altura.

Teorema de Pick A = I + B/2 − 1 para polígonos reticulares; fórmula del zapato (Shoelace) que da el área con signo de un polígono a partir de las coordenadas de sus vértices.

Para dos cuerdas que pasan por un punto P interior al círculo y lo cortan en A,B y C,D: PA·PB = PC·PD; el valor con signo es la potencia del punto.

Para un punto externo al círculo, PT^2 = PA·PB, donde PT es la longitud de la tangente y PAB es una secante; conecta la tangente con el producto de secantes.

En un triángulo rectángulo, a^2+b^2 = c^2 donde c es la hipotenusa; se extiende a la fórmula de distancia, ternas pitagóricas y es ubicuo en geometría.

Aplicación de isometrías — reflexiones, rotaciones, traslaciones — sobre coordenadas; útil en argumentos de simetría y geometría de transformaciones.

m = (y2−y1)/(x2−x1); las rectas paralelas tienen la misma pendiente, y las perpendiculares tienen pendientes cuyo producto es −1 (cuando están definidas).

Interpretación de figuras 3D y sus secciones planas; incluye redes (patrones), desarrollos y razonamiento con ángulos diedros — clave en geometría del espacio.

Identidades como sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2)cos((A−B)/2) y sin A·sin B = (1/2)[cos(A−B)−cos(A+B)]; útiles para reescribir sumas/productos y facilitar integrales.

Cono: V = (1/3)πr^2h, área lateral = πrℓ (ℓ = generatriz). Tronco: V = (h/3)π(R^2+Rr+r^2); área lateral = π(R+r)ℓ.

V = πr^2h; área lateral = 2πrh; área total = 2πrh + 2πr^2 para un cilindro circular recto cerrado.

Para un prisma, V = área de la base × altura y área lateral = perímetro × altura; el área total añade dos bases congruentes.

V = (1/3)·área de la base·altura; el área lateral suma las caras triangulares, usando la apotema lateral en pirámides regulares rectas.

Esfera de radio r: V = (4/3)πr^3 y área = 4πr^2; suele aparecer en problemas de sólidos inscritos/circunscritos.

La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia; las tangentes externas desde un punto tienen igual longitud; el ángulo tangente-cuerda es igual al inscrito correspondiente.

Cuadriláteros con al menos un par de lados paralelos; área = (1/2)(b1+b2)h; el segmento medio es el promedio de las bases.

Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°; etiquetado sistemático y propagación de ángulos en la figura para deducir los desconocidos.

Triángulos idénticos (misma forma y tamaño); criterios SSS, SAS, ASA, AAS, HL; útil para transferir igualdades de lados y ángulos entre figuras.

En todo triángulo, la suma de dos lados supera al tercero; se usa para acotar longitudes y decidir si un triángulo es posible.

Dos triángulos con ángulos correspondientes iguales y lados proporcionales; criterios AA, SAS, SSS; ampliamente usado para derivar razones de longitudes y demostrar resultados geométricos.

Identidades clave: pitagórica (sin^2+cos^2=1), suma/resta, doble/mitad y cofunciones — base de la manipulación trigonométrica.

Definir una función o sucesión en términos de valores anteriores con un caso base; útil para resolver problemas de conteo y estructurar pruebas por inducción.

Dividir un problema en casos mutuamente excluyentes y exhaustivos y resolver cada uno por separado; esencial evitar doble conteo y asegurar exhaustividad.

Colorear (a menudo con dos colores o por paridad) un tablero o conjunto y usar los conteos invariantes de colores para demostrar imposibilidad o restricciones estructurales.

Análisis de juegos combinatorios con información perfecta y sin azar: posiciones ganadoras/perdedoras, valores de Sprague-Grundy y la regla XOR para Nim.

Cantidades preservadas por las operaciones permitidas en un proceso o acertijo; identificar un invariante es un método estándar para demostrar imposibilidad o acotar resultados.

Acertijos donde un conjunto de reglas determina un orden o asignación único; se resuelven por eliminación sistemática, contradicción y análisis de casos.

Media aritmética (suma dividida entre la cantidad de datos); punto de equilibrio del conjunto, sensible a valores atípicos.

Valor medio de un conjunto ordenado (promedio de los dos centrales si la cantidad es par); robusto frente a atípicos.

Valor o valores más frecuentes en un conjunto de datos; aplicable tanto a datos categóricos como numéricos.

Si n+1 objetos se colocan en n cajas, al menos una contiene dos; la generalización es ⌈n/k⌉ para n objetos en k cajas.

Diferencia entre el máximo y el mínimo de un conjunto de datos; medida sencilla de dispersión.

Extraer información cuantitativa de gráficos de barras, de líneas, circulares y de dispersión; identificar tendencias, leer escalas y comparar categorías.

Media de las desviaciones cuadráticas respecto a la media: Σ(x_i − x̄)^2 / n (o /(n−1) para varianza muestral); cuantifica la dispersión.

Media donde cada valor se multiplica por un peso: (Σ w_i x_i)/(Σ w_i); se usa en mezclas, cálculo de calificaciones y valores esperados.

Partir del estado final deseado y revertir las operaciones para recuperar el inicial; útil cuando el camino directo se ramifica mucho pero el objetivo es fijo.

Suma, resta, multiplicación y división en bases distintas a la decimal, con acarreo/llevada adaptados a la base.

Cálculo de días de la semana, conteo de años bisiestos y desfases recurrentes usando aritmética modular (principalmente mod 7) y longitudes de mes.

Si los módulos son coprimos por pares, un sistema de congruencias simultáneas tiene solución única módulo el producto; permite reconstruir un entero a partir de sus restos.

Pruebas rápidas de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13 basadas en patrones de dígitos y sumas alternadas; derivadas de aritmética modular.

Generalización de Fermat: si gcd(a,n) = 1, entonces a^φ(n) ≡ 1 (mod n), donde φ es la función totiente; central en RSA y reducción de exponentes grandes.

Si p es primo y gcd(a,p) = 1, entonces a^(p−1) ≡ 1 (mod p); útil para reducir exponentes y realizar pruebas de primalidad.

Mayor entero positivo que divide a dos enteros; se calcula eficientemente con el algoritmo de Euclides, con gcd(a,b)·lcm(a,b) = |ab|.

Menor entero positivo divisible entre a y b; vale ab / gcd(a,b) y se obtiene tomando los exponentes máximos en la factorización prima.

El exponente del primo p en n! es Σ⌊n/p^k⌋; junto con v_p(n), la valuación p-ádica, cuenta los factores en productos, factoriales y coeficientes binomiales.

Soluciones enteras de ax + by = c: solubles si y solo si gcd(a,b) | c; solución general parametrizada por un entero k con el algoritmo de Euclides extendido.

Aritmética sobre clases de restos mod n: propiedades de suma y producto, inversos modulares y resolución de congruencias lineales.

Conversión de enteros (y fracciones) entre bases (binaria, octal, decimal, hexadecimal, etc.) con divisiones sucesivas y métodos posicionales.

Si n = p1^a1·…·pk^ak, entonces d(n) = (a1+1)(a2+1)…(ak+1); cuenta los divisores positivos a partir de la factorización prima.

Representación única de un entero positivo como producto de potencias de primos (Teorema Fundamental de la Aritmética); punto de partida de casi todos los cómputos en teoría de números.

σ(n) = Π (p_i^(a_i+1)−1)/(p_i−1); fórmula multiplicativa que da la suma de divisores positivos de n desde su factorización prima.